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Johann Friedrich Herbart to Johann Gottlieb Fichte
O d. 1. Oct. 1795
Antwort auf des Herrn Professors Fichte Frage an die Mathematiker, die Natur der geraden und krummen Linie betreffend. In desselben Begriffe der Wissenschaflslehre S. 42.
Linie als Geschlecht begreift unter sich gerade Linie als Gattung. In dem Begriffe der Linie liegen vollständig die gemeinsamen Merkmale [/] der geraden und aller nicht geraden Linien, aber durchaus nicht die besondern Merkmale, wodurch die geraden und alle nicht geraden Linien sich voneinander unterscheiden: es giebt allerdings andere als gerade Linien, und nicht allein die krumme, sondern jede Linie überhaupt enthält (ist nicht) eine Zusammenreihung unendlich vieler unendlich naher Puncte.
Es giebt ein noch höheres Geschlecht von Ausdehnung in die Länge ohne Breite, das außer den Linien die Zusammenreihungen einzelner abstehender Puncte als Gattung unter sich begreifft; eine solche nicht stetige Zusammenreihung ist entweder gebogen oder ungebogen, je nachdem sie eine durch alle ihre Puncte zu ziehende gerade Linie möglich oder unmöglich macht: der Begriff des Geraden wäre also mit dem auf die Linie angewandten Begriffe der ungebogenen Länge einerley, und letzterer setzt den Begriff von Länge ohne Breite aber nicht den Begriff von Linie voraus, sofern solche ein Stetiges ist. Unter dem Begriffe des Ungebogenen überhaupt steht auch der Begriff des Ebenen, wo jener auf die Fläche angewandt ist.
Es lassen sich außer den Flächen noch andere Ausdehnungen in die Länge und Breite gedenken, welche Zusammenreihungen von Linien, die nicht in eine gerade Linie fallen, enthalten, oder statt der zusammengereiheten Linien bloße Zusammenreihungen von Puncten, und jene gehören zusammen mit den Flächen unter ein höheres Geschlecht von Ausdehnung.
Auf eine ähnliche Weise sind Ausdehnungen in die Länge, Breite und Höhe, die also nicht in eine ebene Fläche fallen, und durch Zusammenreihungen || von Flächen, oder von andern Ausdehnungen in die Länge und Breite vorgestellt werden, mit dem Körper unter einem höheren Geschlechte begriffen.
Diese Betrachtungen führen auf Elemente von Zusammenreihungen, welche bey Linien, Flächen und Körpern als stetigen Ausdehnungen nicht statt finden: nemlich auf Längenweite zwischen zwey Puncten, auf Flächenweite zwischen drey Puncten, die nicht in gerader Linie liegen, und auf Körperweite zwischen vier Puncten, die nicht in einer Ebene liegen.
Auf ähnliche Art lassen sich die Winkelausdehnungen behandeln; die letzte Grenze aller Winkelausdehnung ist der Radius, der Strahl, d. i. eine gerade Linie, die vom Winkelpuncte aus ohne Aufhören verlängert werden darf; zwischen zwey Strahlen eines Winkelpuncts ist die Winkelflächenweite; sie, und Zusammensetzungen aus mehreren ihrer Art, und die Winkelflächen gehören unter ein Geschlecht; zwischen zwey Winkelausdehnungen dieses Geschlechts oder zwischen drey Strahlen, die nicht in Einer Ebene liegen, ist die Winkelkörperweite; diese Weite als Element nebst Zusammensetzungen von Elementen dieser Art und die Winkelkörper gehören abermals unter Ein Geschlecht. Es ist eine vollständige Theorie [/] dieser Elemente möglich, welche mit Recht ein System der Elementargeometrie heißen könnte. Hiebey ein Bruchstück aus der Theorie der geraden Linie.
Anmerkung: siehe Digitalisat.
1. Erklärung. Ungebogen ist eine aus zwey Längenweiten AB, BC zusammengesetzte Strecke ABC, wenn die Längenweite AC gegen die Längenweiten AB, BC ein Größtes ist; gebogen, wenn sie kein Größtes ist.
2. Erklärung. Ein Größtes ist ein Großes, das kleiner aber nicht größer werden kann.
Anmerkung. AC ist entweder > AB + BC, oder < AB + BC, oder = AB + BC; einen vierten Fall giebt es nicht, weil AC, AB, BC von gleichartiger Größe sind. ||
1. Axiom. AC > AB + BC ist unmöglich
1. Postulat. AC < AB + BC ist möglich
2. Postulat. AC = AB + BC ist möglich.
1. Lehrsatz. AC ist ein Größtes gegen AB, BC, wenn AC = AB + BC; denn, wenn AC = AB + BC, so kann AC < AB + BC werden, also überhaupt kleiner werden; aber nicht > AB + BC, also überhaupt nicht größer.
2. Lehrsatz. AC = AB + BC, wenn AC gegen AB, BC ein Größtes ist; denn alsdann ist AC nicht < AB + BC, sonst könnte es = AB + BC also überhaupt größer werden, gegen die Voraussetzung; und AC ist auch nicht > AB + BC, weil solches unmöglich; folglich ist AC, als Größtes, = AB + BC.
Coroll. Also ist ABC ungebogen, wenn AC = AB + BC, und AC = AB + BC, wenn ABC ungebogen ist.
3. Erklärung. Eine Linie ist gerade, wenn jede drey Puncte auf ihr eine ungebogene Strecke bestimmen; krumm, wenn sie keinen geraden Theil hat.
2. Axiom. Es ist nur Ein Punct B möglich, der AC = AB + BC macht, bey gegebener Lage AC, und gegebenen Längen AB, AC, oder BC, AC.
3. Axiom. Es ist nur Ein Punct C möglich, der AC = AB + BC macht, bey gegebener Lage AB, und gegebenen Längen AB, BC.
Coroll. In einer ungebogenen Strecke ABC ist demnach die Lage jeder zwey Weiten unveränderlich, sobald die Lage der übrigen Weite unveränderlich ist, und wird nothwendig verändert, sobald jene verändert wird.
Die mancherley Erklärungen der geraden Linie lassen sich sämtlich aus der hier gegebenen Erklärung, und aus der Theorie der ungebogenen Strecke herleiten.
Nach Euclid ist linea recta, quae ex aequo (ἐξ ἴσου) sua interjacet juncta; das kann nicht von der Lage, sondern muß von der Größe der [/] Linie verstanden werden; die gerade Linie ist hiernach gleich dem || Abstande ihrer Grenzpuncte voneinander, zwischen welchen sie liegt, da hingegen jede nicht gerade Linie größer als dieser Abstand ist.
Nach Archimedes ist die gerade Linie die kürzeste zwischen zwey Puncten, weil AB + BC < AC unmöglich, also AB + BC = AC für jede drey Puncte A, B, C in der geraden gegen AC nothwendig ein Kleinstes ist.
Plato’s Erklärung, recta est, cujus media obumbrant extrema, setzt gerade Lichtstrahlen voraus, ist also nicht theoretisch, sondern empirisch. Nach Wolff ist in einer geraden Linie jeder Theil dem Ganzen ähnlich, wenn nemlich im Ganzen AC = AB + BC, und ein Theil AB = ab + bc; ab : bc = AB : BC, so ist ac : ab : bc = AC : AB : BC.
Eine gerade Linie ist ferner diejenige, deren Theile alle nach einerley Richtung sich erstrecken, nach Karsten; deren Puncte alle nach einerley Gegend liegen, nach Kästner, welche man nur auf einzige Art zwischen zwey Puncten sich gedenken kann, nach Klügel; welche nach einerley Strecke zwischen ihren Grenzen liegt, nach Joh. Carl Schulze; welche von ihrem Anfang bis zu ihrem Endpunct einerley Richtung hat, nach Mönnich; welche als Grenze einer Fläche, die um ihre zwey Endpuncte sich dreht, gedacht, in allen Puncten unbeweglich bleibt, nach J. H. Voigt. Diese sechs Erklärungen beziehen sich sämtlich auf die Lage der Theile, und lassen sich aus dem 2 und 3ten Axiome herleiten.
H
Antwort auf des Herrn Professors Fichte Frage an die Mathematiker, die Natur der geraden und krummen Linie betreffend. In desselben Begriffe der Wissenschaflslehre S. 42.
Linie als Geschlecht begreift unter sich gerade Linie als Gattung. In dem Begriffe der Linie liegen vollständig die gemeinsamen Merkmale [/] der geraden und aller nicht geraden Linien, aber durchaus nicht die besondern Merkmale, wodurch die geraden und alle nicht geraden Linien sich voneinander unterscheiden: es giebt allerdings andere als gerade Linien, und nicht allein die krumme, sondern jede Linie überhaupt enthält (ist nicht) eine Zusammenreihung unendlich vieler unendlich naher Puncte.
Es giebt ein noch höheres Geschlecht von Ausdehnung in die Länge ohne Breite, das außer den Linien die Zusammenreihungen einzelner abstehender Puncte als Gattung unter sich begreifft; eine solche nicht stetige Zusammenreihung ist entweder gebogen oder ungebogen, je nachdem sie eine durch alle ihre Puncte zu ziehende gerade Linie möglich oder unmöglich macht: der Begriff des Geraden wäre also mit dem auf die Linie angewandten Begriffe der ungebogenen Länge einerley, und letzterer setzt den Begriff von Länge ohne Breite aber nicht den Begriff von Linie voraus, sofern solche ein Stetiges ist. Unter dem Begriffe des Ungebogenen überhaupt steht auch der Begriff des Ebenen, wo jener auf die Fläche angewandt ist.
Es lassen sich außer den Flächen noch andere Ausdehnungen in die Länge und Breite gedenken, welche Zusammenreihungen von Linien, die nicht in eine gerade Linie fallen, enthalten, oder statt der zusammengereiheten Linien bloße Zusammenreihungen von Puncten, und jene gehören zusammen mit den Flächen unter ein höheres Geschlecht von Ausdehnung.
Auf eine ähnliche Weise sind Ausdehnungen in die Länge, Breite und Höhe, die also nicht in eine ebene Fläche fallen, und durch Zusammenreihungen || von Flächen, oder von andern Ausdehnungen in die Länge und Breite vorgestellt werden, mit dem Körper unter einem höheren Geschlechte begriffen.
Diese Betrachtungen führen auf Elemente von Zusammenreihungen, welche bey Linien, Flächen und Körpern als stetigen Ausdehnungen nicht statt finden: nemlich auf Längenweite zwischen zwey Puncten, auf Flächenweite zwischen drey Puncten, die nicht in gerader Linie liegen, und auf Körperweite zwischen vier Puncten, die nicht in einer Ebene liegen.
Auf ähnliche Art lassen sich die Winkelausdehnungen behandeln; die letzte Grenze aller Winkelausdehnung ist der Radius, der Strahl, d. i. eine gerade Linie, die vom Winkelpuncte aus ohne Aufhören verlängert werden darf; zwischen zwey Strahlen eines Winkelpuncts ist die Winkelflächenweite; sie, und Zusammensetzungen aus mehreren ihrer Art, und die Winkelflächen gehören unter ein Geschlecht; zwischen zwey Winkelausdehnungen dieses Geschlechts oder zwischen drey Strahlen, die nicht in Einer Ebene liegen, ist die Winkelkörperweite; diese Weite als Element nebst Zusammensetzungen von Elementen dieser Art und die Winkelkörper gehören abermals unter Ein Geschlecht. Es ist eine vollständige Theorie [/] dieser Elemente möglich, welche mit Recht ein System der Elementargeometrie heißen könnte. Hiebey ein Bruchstück aus der Theorie der geraden Linie.
Anmerkung: siehe Digitalisat.
1. Erklärung. Ungebogen ist eine aus zwey Längenweiten AB, BC zusammengesetzte Strecke ABC, wenn die Längenweite AC gegen die Längenweiten AB, BC ein Größtes ist; gebogen, wenn sie kein Größtes ist.
2. Erklärung. Ein Größtes ist ein Großes, das kleiner aber nicht größer werden kann.
Anmerkung. AC ist entweder > AB + BC, oder < AB + BC, oder = AB + BC; einen vierten Fall giebt es nicht, weil AC, AB, BC von gleichartiger Größe sind. ||
1. Axiom. AC > AB + BC ist unmöglich
1. Postulat. AC < AB + BC ist möglich
2. Postulat. AC = AB + BC ist möglich.
1. Lehrsatz. AC ist ein Größtes gegen AB, BC, wenn AC = AB + BC; denn, wenn AC = AB + BC, so kann AC < AB + BC werden, also überhaupt kleiner werden; aber nicht > AB + BC, also überhaupt nicht größer.
2. Lehrsatz. AC = AB + BC, wenn AC gegen AB, BC ein Größtes ist; denn alsdann ist AC nicht < AB + BC, sonst könnte es = AB + BC also überhaupt größer werden, gegen die Voraussetzung; und AC ist auch nicht > AB + BC, weil solches unmöglich; folglich ist AC, als Größtes, = AB + BC.
Coroll. Also ist ABC ungebogen, wenn AC = AB + BC, und AC = AB + BC, wenn ABC ungebogen ist.
3. Erklärung. Eine Linie ist gerade, wenn jede drey Puncte auf ihr eine ungebogene Strecke bestimmen; krumm, wenn sie keinen geraden Theil hat.
2. Axiom. Es ist nur Ein Punct B möglich, der AC = AB + BC macht, bey gegebener Lage AC, und gegebenen Längen AB, AC, oder BC, AC.
3. Axiom. Es ist nur Ein Punct C möglich, der AC = AB + BC macht, bey gegebener Lage AB, und gegebenen Längen AB, BC.
Coroll. In einer ungebogenen Strecke ABC ist demnach die Lage jeder zwey Weiten unveränderlich, sobald die Lage der übrigen Weite unveränderlich ist, und wird nothwendig verändert, sobald jene verändert wird.
Die mancherley Erklärungen der geraden Linie lassen sich sämtlich aus der hier gegebenen Erklärung, und aus der Theorie der ungebogenen Strecke herleiten.
Nach Euclid ist linea recta, quae ex aequo (ἐξ ἴσου) sua interjacet juncta; das kann nicht von der Lage, sondern muß von der Größe der [/] Linie verstanden werden; die gerade Linie ist hiernach gleich dem || Abstande ihrer Grenzpuncte voneinander, zwischen welchen sie liegt, da hingegen jede nicht gerade Linie größer als dieser Abstand ist.
Nach Archimedes ist die gerade Linie die kürzeste zwischen zwey Puncten, weil AB + BC < AC unmöglich, also AB + BC = AC für jede drey Puncte A, B, C in der geraden gegen AC nothwendig ein Kleinstes ist.
Plato’s Erklärung, recta est, cujus media obumbrant extrema, setzt gerade Lichtstrahlen voraus, ist also nicht theoretisch, sondern empirisch. Nach Wolff ist in einer geraden Linie jeder Theil dem Ganzen ähnlich, wenn nemlich im Ganzen AC = AB + BC, und ein Theil AB = ab + bc; ab : bc = AB : BC, so ist ac : ab : bc = AC : AB : BC.
Eine gerade Linie ist ferner diejenige, deren Theile alle nach einerley Richtung sich erstrecken, nach Karsten; deren Puncte alle nach einerley Gegend liegen, nach Kästner, welche man nur auf einzige Art zwischen zwey Puncten sich gedenken kann, nach Klügel; welche nach einerley Strecke zwischen ihren Grenzen liegt, nach Joh. Carl Schulze; welche von ihrem Anfang bis zu ihrem Endpunct einerley Richtung hat, nach Mönnich; welche als Grenze einer Fläche, die um ihre zwey Endpuncte sich dreht, gedacht, in allen Puncten unbeweglich bleibt, nach J. H. Voigt. Diese sechs Erklärungen beziehen sich sämtlich auf die Lage der Theile, und lassen sich aus dem 2 und 3ten Axiome herleiten.
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