Friedrich Schleiermacher to Alexander von Dohna

Arithmetik.
1. Wesen der Arithmetik.
Arithmetik und Geometrie sind beides Wissenschaften, die uns Lehrsäze über die Verhältnisse der Grössen in einem gewissen System geben. Sie unterscheiden sich aber dadurch, dass sich die Geometrie blos auf die stetigen Grössen im Raum bezieht.
Anm. Stetig nennt man eine Grösse, die unserer sinnlichen Anschauung ein Ganzes darbietet, wie z. E. jede geometrische Linie, Fläche und Körper. Wir denken uns auch die stetige Grösse, wenn wir nemlich keine Rüksicht auf ihre Materie nehmen gar nicht als aus Theilen zusammengesezt, sondern als aus dem ganzen vorhandenen Raum heraus genommen und begränzt: erst wenn wir sie haben denken wir uns Theile willkührlich hinein, wir denken also hier die Theile nur durch das Ganze. Ich glaube, dass ich Ihnen das schon lezthin mündlich deutlich genug gemacht habe. Erlauben Sie mir aber es durch ein paar Beispiele zu erläutern. Indem ich einen Triangel zeichne, so stell ich mir gar nicht die drei Linien als die Theile vor, aus denen er zusammengesezt wäre, wie denn auch diese gar nicht Theile der Fläche seyn können, sondern nur Gränzen; dennoch entsteht der Triangel, indem ich diese Linien ziehe, also nicht dadurch, dass ich eine kleine Fläche als Theil hervorbringe und dann immer mehr hinzuseze, bis der Triangel fertig ist (das hiesse ihn aus Theilen zusammensezen) sondern die ganze Fläche, die er einschliesst ist schon lange vorhanden und ich thue nichts als sie abzusondern. – Wenn ich zum Behuf irgend eines geometrischen Lehrsazes in einem Triangel eine parallele mit seiner Basis ziehe, so denke ich mir die beiden Theile nicht so, als ob der Triangel daraus entstanden und zusammengesezt worden, sondern diese sind wiederum | willkührlich aus dem Triangel abgesondert worden, eben so wie vorher der Triangel selbst aus dem ganzen Raum. Wenn man sagt ein Zirkel entsteht wenn eine gerade Linie sich um einen festen Endpunkt bewegt, so denkt man sich die kleinen Flächenräume, welche entstehn, wenn man die Bewegung der Linie irgend wo anhält gar nicht als die Theile woraus der Zirkel erst zusammengesezt wurde, sondern die Bewegung ist nur die Regel, nach welcher die Gränze hervorgebracht und also die Zirkelfläche abgesondert werden soll.
Den Eigenschaften der stetigen Grösse im Raum, welche man die ausgedehnte Grösse nennt sind grade entgegengesezt die Eigenschaften der Zahl, Grösse womit sich die Arithmetik beschäftigt.
Anm. Zahl ist Vielheit der Einheiten, und kann nicht anders erzeugt werden, als indem wir uns in Gedanken die Einheit so oft wiederholen als die Aufgabe fodert. Hier ist die Einheit ein wahrer Theil, eine jede neue Wiederholung derselben gibt uns einen Abschnitt; hier denken wir das Ganze nur durch die Theile. Wenn wir z. B. 8 denken, so können wir nicht umhin, uns eine gewisse Menge Einheiten vorzustellen, welche die natürlichen Theile der Zahl sind, und wir können uns den Begriff von der ganzen 8 nicht anders machen, als indem wir von der eins anfangen und nach und nach durch alle folgenden Zahlen heraufsteigen. – Sie könnten mir hier den Einwurf machen, dass das auch bei den stetigen Grössen im Raum der Fall sei, die wir auch nicht anders übersehn können, als indem wir mit dem Auge nach und nach von einem Theil zum andern fortgehn. Das ist auch genau genommen richtig, allein es gibt doch noch zwei Verschiedenheiten und die sind es eben, worauf alles ankommt. 1., sagen wir dennoch nicht, dass die Grösse so entstanden ist, sondern nur unsere Anschauung derselben, welches wol unterschieden werden muss. Bei der Zahl hingegen kann unser Anschauen dieses Fortschreitens von einer Einheit zur andern wol am Ende entbehren, aber wir denken uns die Grösse selbst als so aus der Einheit entstanden, denn das ist ja der Begriff auf den wir alle Operationen des Verstandes mit Zahlen (d. h. alles Rechnen) reduciren. 2., gehen wir bei der geometrischen Anschauung durch jede unendlich kleine Grösse, die in der gegebenen enthalten ist, und können eben deswegen diese nicht als Theile ansehn durch deren Zusammensezung das Ganze entstanden wäre; bei der Zusammensezung der Zahl hingegen gehen wir nicht durch alle unendlich kleine Theile woraus jede Einheit besteht, sonst würden wir uns die Zahl als Linie, als stetige Grösse denken, sondern wir nehmen die Einheit selbst, und durch diese bekommen wir natürliche Abschnitte, d. h. Theile. |
Ich glaube dass dies den wesentlichen Unterschied der Arithmetik von der Geometrie ausmacht und um ihn in der Erklärung der Arithmetik mit auszudrücken, müssen wir sie so abfassen:
„Die Arithmetik ist die Wissenschaft von den Verhältnissen der Zahlen“.
Anm. 1. Sie sehn dass man eine jede Grösse in eine Zahl verwandeln kann wenn man eine Einheit zu ihrer Beurtheilung annimmt, d. h. wenn man sie misst (denn eine angenommene Einheit zur Beurtheilung einer Grösse die an sich nicht als Zahl erscheint, heisst ein Maass). Also können auch die geometrischen Grössen als Zahlen angesehen werden; das geschieht aber nicht in der reinen Geometrie (da wird nicht gemessen, und alle Zahlen sind nur zufällig) sondern nur in der sogenannten angewandten Geometrie und in der Trigonometrie.
Anm. 2. Man theilt aber die ganze Wissenschaft von den Verhältnissen der Zahlen noch ab in eigentliche Arithmetik und in Analysis, die Sie unter dem Namen Algebra kennen. Da wir es (vor der Hand) nur mit der ersten zu thun haben, so wäre es gut auch den Unterschied zwischen diesen beiden zu kennen. Den besinn ich mich aber nicht befriedigend gefunden zu haben. Doch bringt mich der Umstand, dass die Analysis überall in Gleichungen arbeitet auf folgende Angabe: Die eigentliche Arithmetik gibt uns überall Data um daraus Resultate zu finden; die Analysis gibt uns Resultate, um daraus gewisse Data die als unbestimt in ihnen enthalten waren zu finden.
2. Noch eine Vergleichung der Arithmetik und Geometrie.
In der Geometrie giebt es noch Grössen von verschiedener Art und verschiedener Würde, deren eine nicht mit der andern verwechselt werden, eine nicht in die andere übergehn kann, nämlich Linien, Flächen und Körper. Das kommt von der Eigenschaft des Raumes her, welche man seine dreifache Ausmessung nennt. In der Arithmetik wo wir es mit dem Raum nicht zu thun haben ist auch nichts dergleichen zu bemerken; alle Zahlen sind von einerlei Art, da sie alle aus Wiederholungen der Einheit entstanden sind, und liegen alle in einer unendlichen Reihe, denn da es immer noch möglich ist zu einer Zahl eine andere hinzuzusezen, so ist keine Zahl an sich die lezte, und die Reihe derselben ist ins unendliche unvollendet. In dieser Reihe hat eine jede Zahl ihren festen Plaz | nach der Menge der Einheiten die in ihr enthalten sind, und alles was wir mit den Zahlen vornehmen, geht innerhalb dieser Reihe vor.
3. Von den allgemeinen Verhältnissen der Zahlen.
Dieses aber was wir mit den Zahlen vornehmen können, scheint auf den ersten Anblik nicht so recht viel zu seyn; denn wenn wir von dem Begriff der Zahl als Menge der Einheiten und des Zählens als Hervorbringen der Zahl durch Wiederholung der Einheiten ausgehn, so erscheint uns kein anderes Verhältniss der Zahlen, als dass eine grösser eine kleiner ist als die andre, eine aus mehrern andere aus wenigem Wiederholungen der Einheit besteht, und wir finden keinen andern Punkt aus dem wir sie vergleichen könnten, als zu sehn wie viel Einheiten ich zu einer kleineren hinzusezen, wie weit ich in der natürlichen Zahlenreihe vorwärts gehn muss, um eine grössere zu erlangen, und wie viel Einheiten ich von der grössern wegnehmen, wie weit ich in der natürlichen Zahlenreihe rückwärts gehn muss um zu der kleinen zu gelangen. Und so gäbe es keine andere Operation des Rechnens als 1. zu einer Zahl gewisse Wiederholungen der Einheit, das heisst eine gewisse andere Zahl hinzusezen und daraus eine dritte machen: Zahlen zusammenfügen, addiren 2. von einer Zahl gewisse Wiederholungen der Einheit, d. h. eine gewisse andere Zahl hinwegnehmen, und daraus eine dritte machen: Zahlen trennen subtrahiren.
4. Erweiterung.
Allein wenn dieses auch alles ist, so werden wir doch bald sehn, dass es wenigstens mehrere Arten giebt zu addiren und zu subtrahiren. Wenn man nemlich eine jede Grösse als Einheit betrachten kann, so kann man auch eine jede schon zusammengesezte Zahl als Einheit für andere ansehn. Das gibt nun einen neuen Gesichtspunkt indem ich also eine jede Zahl nicht als nur aus der natürlichen, sondern auch aus irgend einer angenommenen Einheit entsprungen ansehn kann. Diese Befugniss und die Reduktion ihrer Anwendung auf die natürliche Zahlenreihe ist der Grund aller übrigen Operationen des Rechnens; die einfachsten derselben sind multipliciren und dividiren. Ich kann nemlich fragen: Die wievielste Wiederholung der Einheit, d. h. welche Zahl bekomme ich wenn ich die 12 als Einheit ansehe und diese Einheit viermal seze: Das ist multi|pliciren. Ich kann ferner fragen: Wie oft hätte ich die 12 wiederholen müssen indem ich die Eins 48 mal wiederholte? Das ist dividiren.
5. Von der mechanischen Einrichtung unseres Rechen-Systems.
Nachdem wir so die Begriffe der vier einfachsten Rechnungsarten erfunden haben aus denen alle übrige nur Zusammensezungen sind, so bitte ich Sie nun sich an das zu erinnern, was wir damals vom dekadischen System sagten; von der grossen Erfindung für die ganze unendliche Zahlenreihe sich mit 10 Zeichen zu begnügen und dafür die Zahlen nach ihren Fortschreitungen in gewisse Ordnungen zu theilen, welche bei den Ziffern durch die Stelle bezeichnet werden wo sie stehn. Daraus lässt sich sehr leicht unser Verfahren bei den arithmetischen Aufgaben deduciren; warum wir beim addiren und subtrahiren die gegebenen Zahlen gleichsam trennen, und successiv nur die zusammengehörigen Ordnungen mit einander verbinden um zu rechter Zeit die kleinern in die grössern verwandeln zu können, warum wir beim mulitpliciren jede Ordnung des einen Faktors einzeln mit dem andern verbinden, aber beim dividiren umgekehrt die höhern Ordnungen zuerst eintheilen, weil wir sie oft wenn die Einheiten einer Ordnung nicht hinreichen einen Quotienten derselben Ordnung hervorzubringen in die niedrigere Ordnung verwandeln müssen. Dieses ganze dekadische System ist aber nicht nothwendig sondern bloss willkührlich; die Alten rechneten nicht so und noch jetzt rechnen viele Völker anders. Leibniz erfand eine Diadik wo er nur immer bis 2 zählte und nur diese beiden Ziffern hatte: 0, 1.
6. Von den Reihen.
Wenn wir wieder von der Idee ausgehn, dass man nun eine jede Zahl als Einheit behandeln kann, die beim Zählen wiederholt, so entstehn aus einem solchen Zählen mit einer angenommenen Einheit andere Zahlenreihen als die natürliche (jedoch müssen sie immer in der natürlichen enthalten seyn) z. E. man fängt von der Eins an, nimmt aber die 3 zu der Einheit, welche immer wiederholt wird, so bekommt man folgende Reihe:
13). 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22. 25. 28. 31. 34
und so fort bis ins unendliche. |
Man kann aber auch bei jeder andern Zahl anfangen und es eben so machen:
2. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. 26. 29. 32. 35 etc.
Unter einer Zahlen Reihe (Progression, wenn Sie sich vor dem fürchterlichen Wort nicht erschrecken) versteht man eine Menge von Zahlen (einerlei wo sie anfangen und aufhören) von denen immer die folgende aus der vorigen nach einerlei Gesez entstanden ist, wie z. E. in den obigen Reihen dadurch dass immer zu der vorigen Zahl, die 3, die als Einheit galt, hinzugesezt ward. Allein es können auch noch Reihen aus ganz andern Gesezen entstehn. Z. E. man kann bei einer Zahl anfangen diese selbst als Einheit ansehn und wiederholen; dann aber wieder die Zahl, welche daraus entstand als Einheit betrachten und eben so wiederholen. Ich meine auf diese Art:
2. 4. 8. 16. 32. 64. 128. 256 etc.
Die 2 ist hier als Einheit angesehn und wiederholt, daraus entstand die 4, nun wurde diese als Einheit angesehn und fortgezählt, daraus entstand die 8; nun wurde diese die Einheit, und so immer fort nach dem nemlichen Gesez. Es ist auch nicht nöthig, dass man die angenommene Einheit nur einmal wiederholt um die nächste Zahl der Reihe zu bekommen, man kann gleich ein vielfaches derselben nehmen, welches schon mehrere Wiederholungen derselben in sich fasst. Z. E. ich fange bei der 2 an, will aber nicht die 2 nur einmal wiederholen, sondern gleich dreimal: Daraus entsteht nun eine Zahl diese wird als Einheit angesehn und ebenfalls nicht einmal wiederholt, sondern dreimal.
2. 6. 18. 54. 162. 394. 1092. 3274.
Sie sehen ich behandle überall die Reihen als Arten zu zählen und suche die Einheiten auf nach denen man zählt.
Die obigen Beispiele geben aber 2 ganz verschiedene Arten von Reihen an die Hand.
Bei der einen wird eine Einheit gewählt und mit dieser so gezählt wie mit der wahren Einheit in der natürlichen Zahlenreihe; diese nennt man zählende Reihen (arithmetische Progressionen). Bei der andern wurde zwar auch die erste Zahl bei der man anfing | zur Einheit gewählt und ein bestimtes vielfaches derselben genommen, aber dann eben diese nun erhaltene Zahl zur Einheit genommen und eben so behandelt; diese nennt man steigende Reihen (geometrische Progressionen).
Sie sehn dass ich jene erhalte wenn ich zu der lezten vorhandenen Zahl die angenommene Einheit addire, diese hingegen wenn ich die lezte Zahl die nun Einheit wird so oft nehme, als es das angefangene Gesez erfodert. Dieses so oft nehmen ist aber nach unserm oben gegebenen Begriff ein multipliciren. Auch bei den arithmetischen Reihen ist zwar ein multipliciren, aber nicht jedes Gliedes aus dem nächsten, sondern aller aus dem ersten. Ich frage nemlich: was entsteht für eine Zahl der natürlichen Zahlenreihe wenn ich die angenommene Einheit so oft wiederhole, wenn ich sie einmal mehr wiederhole u.s.w. so ist jedes Glied des einmal eins nur eine arithmetische Progression, worin die Zahl womit das Glied anfängt die Einheit ist z. E.
3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. 30.
aber es ist nicht das nächste Glied aus der Multiplikation mit dem vorigen entstanden, sondern alle aus einer successiven Multiplikation des ersten. Ich hoffe ich habe nun den Unterschied dieser beiden Arten von Reihen hinlänglich angegeben. Es gibt noch mehrere Arten derselben, die aber nicht von der Wichtigkeit als diese beiden und besonders die geometrische.
7. Einige Beobachtungen über diese Arten von Reihen
Man kann leicht bemerken, dass, man mag eine arithmetische Reihe anfangen wo man will und abbrechen wo man will, sich dennoch immer folgendes dabei ereignet: wenn man die zwei äussersten Glieder zusammen addirt und so von beiden Seiten nach der Mitte zu fortfährt, so geben alle diese Paare die nemliche Summe. Z. E. in der Reihe
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23.
1+23=24. 3+21=24. 5+19=24. 7+17=24. 9+15=24 etc.
Ferner bei der geometrischen Reihe wenn man die äussersten | Glieder mit einander multiplicirt und eben so fortfährt, so geben alle diese Paare einerlei Produkte. Z. E.
3. 6. 12. 24. 48. 96.
3·96=288. 6·48=288. 12·24=288
Wenn diese beiden Säze von allen arithmetischen und geometrischen Reihen gälten, so könnte man daraus verschiedene Folgerungen ziehen, und da die Eigenschaften der Reihen der Grund alles übrigen Rechnens sind, so würden wir auf diese Weise sehr weit kommen. Allein wie kommen wir zu der Ueberzeugung dass diese Resultate eine solche nothwendige Allgemeinheit haben, als sie als Lehrsäze haben müssen? Denn wenn wir das auch an hundert und tausend Reihen wiederholen, so kann uns immer der Zweifel kommen dass die individuellen Eigenschaften der Zahlen die wir gewählt haben uns täuschen, und dass es doch welche geben könne, wo es nicht eintreffen würde. Aus den Begriffen der Zahlen und der Reihen wir mögen sie drehn wie wir wollen können wir es auch nicht folgern. Wir müssen also ehe wir weiter gehn uns erst ein Mittel verschaffen zu beweisen und unsern Beispielen eben die Allgemeinheit geben, welche die Beweise aus der Construktion der Figuren uns in der Geometrie verschaffen, und dazu werden Sie mir erlauben Ihnen nächstens den Schlüssel zu geben.
Sehen Sie mein lieber Graf, da ist doch wieder ein kleines Fragment zur Fortsezung, aber es ist grösser als Sie denken, denn Sie werden nun leicht rathen können, woraus alles heraus will.
Inzwischen will ich Ihnen nicht bergen dass ich einen Streich gemacht habe den mir die Arithmetiker vielleicht nicht vergeben; ich habe von Progressionen gesprochen und bin noch nicht bei den Proportionen eingekehrt; aber mein Ideengang der vom Zählen ausging liess es nicht anders zu und die Proportionen sollen auch nicht leer ausgehen.
Wir haben gestern einen Königsbergischen Besuch gehabt, aber ich muss Ihnen gestehen, ich bin seitdem ich ihn gesehn nicht mehr ganz so empfindlich gegen das was dieser Besuch in Holland von Ihnen gesagt hat, ich bin ein närrischer Mensch aber ich stellte mir vor die Leute die Sie lobten müssten anders aussehn. Wie das | zugeht mögen Sie sich selbst enträthseln. Inzwischen wenn Sie nur a laudatis viris (die Damen nicht ausgeschlossen) gelobt werden – lassen Sie sich das lateinische Sprüchelchen von Graf Wilhelm erklären – was können Sie denn dafür, wenn es auch andere thun. Sie sehn mein Papier ist aus und meine Zeit leider ebenfalls also entschuldigen Sie
Ihren Schleiermacher.
Schlobitten d. 16 Dec. 1791.